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切割线定理及其应用
发布时间:2022-01-22 10:49:32 来源:亿百体育 作者:亿百体育官方 [返回]

   

  众所周知,切割线定理为:如图所示,若AB为圆的切线,ACD为圆的割线=AC*AD,利用弦切角等于圆周角得∠ABC=∠ADB即得△ABC∽△ADB,则

  AB/AD=AC/AB,即可证明。反之亦然,即若AB^2=AC*AD则AB为BCD外接圆圆的切线。显然,其中的圆可以略去,只要有∠ABC=∠ADB即可。

  这个图形非常基础,也很常见,当然它是圆幂定理的一种。但是本专题重点展示此定理的应用,不把它往圆幂定理上推广。有人称之为广射影定理(因为当AB⊥BD时即为射影定理,故其为射影定理的推广)。叶中豪老师常称之为“母子型相似”图形,但是我觉得还是应该称之为切割线定理更合适一些。当然其本质是两个共边的逆相似三角形的性质。

  本图形和结论虽然简单,但是运用之妙,存乎一心,合理的运用①往往巧妙的解决很多难题,下面我们通过例子展示其应用。

  例1、如图, 设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M,过点M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F,交BC的延长线于点O,P是以O为圆心OM为半径的圆上一点(位置如图所示),求证:∠OPF=∠OEP.(1996年初中数学联赛)

  OM^2=OE*OF = OF/OM=OM/OE,需要一个中间量传递一下比例,从而想到延长AD、BC交于点I,由平行即得OF/OM=ID/IA=OM/OE,得证。

  思路分析:两圆相交,公共弦是一个重要 的枢纽,沟通了两圆的关系。由切线及切割线定理容易得到AB平分PQ。从而想到在消点法中多次用到的Steiner定理[1][2],得到CD//PQ。

  注:本题结构和性质都很常见,思路都比较自然。虽然证明结果看起来有点“恐怖”。但是只要认真分析,证明并不困难。当然熟悉调和四边形的读者容易发现ACBD为调和四边形。本题证明方法也比较多,有兴趣的读者可以自行探讨。

  思路分析:若从结果分析,证明垂直方法很多,可以倒角或者勾股定理等,但是都不好说。所以先探索图形的基本性质。

  注:1)解决本题的关键在于发现其中的切割线定理结构,消去点R,将证明结果转化到大圆上。这也完美的体现的数学竞赛的精髓——不是考察你的知识,而是考察你的能力。光知道一些结论是没用的,关键要在合适的时候巧妙的使用那些简单的知识来解决复杂的问题!