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走出“切割线定理”的误区:切割线定理
发布时间:2022-05-22 03:54:45 来源:亿百体育 作者:亿百体育官方 [返回]

   

  如图1,已知AB是半圆的直径,PC切半圆于点C,PA∶PB=1∶4,求tan∠PCA的值.连结BC是很自然的想法. 把∠PCA转化为∠B,在Rt△ACB中寻求线段比例关系,进一步求出∠PCA的正切值. 但在实际的反馈中,不少同学卡在这一道题上,久久不能解答. 应该说,我们的学生对于切割线定理的这个图形已经非常熟悉了,大家都忙于去探求切线长与割线之间的关系,怎么也不能把AC∶BC与切割线定理联系起来.其实,只要了解切割线定理的由来,我们就可以把这个问题讲清楚了. 对于切割线定理,我们是用弦切角定理来证明的,过程如下.证明连结AC,BC,因为PC是⊙O的切线,AC是弦. 所以∠PCA=∠B(弦切角定理). 因为∠P=∠P,所以△PAC∽△PCB. 所以=在证明中括号部分的比例式本应没有,为我所加,结合上面的问题就清楚了,原来问题的关键就在这里. 学生对于切割线定理印象深刻,而对于切割线定理的由来却不予关注,这个考题恰恰就考了这个要命的比例式. 原题的解答如下:解析连结BC,设PA=x,因为PA∶PB=1∶4,所以PB=4x. 因为PC是⊙O的切线,AC是弦,所以∠PCA=∠B. 因为∠P=∠P,所以△PAC∽△PCB. 所以==. 因为PA=x,PB=4x,所以=. 因为AB是⊙O的直径,所以∠ACB=90°. 所以在Rt△ACB中,tan∠B==.这个例子充分说明,在数学教学中,我们不能只是简单地让学生掌握定理、应用定理. 这只是知识层面的简单要求. 而应该要求学生进一步探求知识发生发展的过程,充分体验数学推理的魅力.如图2,在△PBC中,过点C作线段CA使得∠PCA=∠B,有些同学在熟悉之后会马上得到PC2=PA・PB. 其实,这里也隐含了同样的比例关系==.这张图还有一个变化,在∠PCB=90°的时候,则可以得到CA是PB边上的高,同样有相似结论的存在,也同样有PC2=PA・PB,也就是我们熟知的射影定理!当然,里面也隐含了==. 并且,这时候∠CBA=∠P,还可以得到BC2=AB・BP. 不要忘记,这一切都来源于相似!《数学课程标准》中指出:“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆”“数学在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和创造力等方面有着独特的作用”. 学生在学习的过程中不自觉地强化了自己对于切割线定理甚至是射影定理本身结论的感受,另一方面也就无形中淡化了定理的证明过程与由来,导致自己的思维方式受到定理的局限,从而使得自己的推理能力与创造力能下降. 从这个角度看,我比较赞赏新的教材取消切割线定理与射影定理等内容. 但在实际教学中,教师应当根据学生的实际情况作一些补充介绍,要求学生从相似角度来了解把握这些图形中线段之间的联系,但切忌把这些定理当作强化训练. 作为教师,要让学生走出切割线定理的误区以及思维不被类似定理结论所束缚,进一步提升创造力,我认为应该从以下两个层面着手.1. 知识技能层面:数学中的定理、结论有它们的由来,在这个过程中我们能够取得很多收获,在教学中应当特别注重这方面的介绍,或者根据情况作一些探索性学习. 其实探索性学习的目的一方面是激发学生的求知欲和兴趣,另一方面就在于通过自己亲历亲为了解知识发生发展的过程,而不是仅仅知道结论,应用定理. 这样自然可以避免出现很多错误. 比如在运用弧长公式和扇形面积公式的时候,经常有学生把分母的180和360混淆,但如果清楚弧长公式和扇形面积公式的推导,自然不会出现类似的问题了.2. 思想方法层面:数学是锻炼思维的体操. 常有人说数学可以使人聪慧. 人们现在研究数学的目的已经不仅仅是为了联系实际生活,有些世界性难题的攻克就是人类在挑战自己智慧的极限,而把这个极限一步步突破,就像体育比赛的记录一样,在不断被刷新. 我认为,学习数学的目的不仅仅为了应用于生活,更重要的在于数学能锻炼我们的思维,让我们更富有推理能力、抽象能力、想象力和创造力. 因此,数学教学中被重视的不应该仅仅是知识点本身,而应该是它的思想方法,它才是体会数学美妙、提升我们的智慧所在. 这里说的思想方法不仅仅包括我们平时说的数学归纳法、数形结合思想等等,更广泛一点,它指的是数学问题的数学本质.记得华师大的张奠宙教授很早就指出,数学教育应当注重数学本质的揭示. 如果你理解了这个问题的本质,那么,对同类问题的看法将是高屋建瓴,有“会当凌绝顶,一览众山小”的感觉. 例如在切割线定理的教学中应当让学生了解到,切割线定理是用来解决圆中线段之间关系的计算或推理工具. 它的由来或者说本质是相似的. 如果进一步探讨相似的本质,那么在这样的变换中,我们需要抓住的是其中的不变性,应当就是形状的不变,具体在数学上的描述就是对应角相等、对应线段成比例的关系. 简单说我们需要研究的相似就是变化中的不变性. “数学本质”的内涵包括四个方面.其实众所周知,在遇到问题的时候,最可贵的就是“有想法”,了解问题的本质、知识的联系、规律的形成过程,数学的思想方法、理性的思维精神,很多问题就不再是问题了. 与此同时,学生的智慧便得到了提升. 我们来举个具体的例子,这是湖北黄冈地区的一道中考题.如图3,A是以BC为直径的⊙O上一点,BE平分∠ABC交⊙O于点E,EF∥AC,交BC的延长线)EF是⊙O的切线)若ED⊥BC于点D,则=.这个题目应当说是个很难的题,但是第一问却设计得很好. 连接OE证明垂直是大部分学生能够办到的. 有了这个铺垫,接下来思路如水银泻地一般酣畅淋漓. 考虑到是要证明线段之间的比例关系,首选是通过相似来证明. 然而尝试时发现,这四条线段在同一直线上,根本无法构成三角形. 那么,只好通过其他的线段把这四条线段中的至少两条换掉. 但图中并没有与这四条线段相等的线段,只好求助别的线段关系. 不少学生会想到切割线定理,却不知道该怎么用. 切割线定理本身就是描述的一种线段关系. 可以将所求证的比例式中的FC换成,进一步化简比例式,得到=. 这个比例式显然无法直接证明,那么,就需要再把CD也换掉. 考虑图中与CD或者DB有关的线段关系,就首先要想到线段CD和DB是如何产生的,或者说什么条件决定了线段CD和DB的长. D点的产生就是ED⊥BC得到的,联想到垂直,我们可以发现图中有射影定理的基本图形. 利用射影定理将CD和DB都换掉. CD=,DB=,代入上面化简的式子进一步化简,得到=,这个式子正是本文开头所说的切割线定理中容易被遗忘的第三个比例式!回顾整个思考过程,要求学生必须了解知识之间的内在联系,熟悉数学规律的形成过程,会运用演绎推理(这里特别是执果索因)的数学方法.说起来容易做起来难. 要让学生有这样的解答能力,需要在每一个教学环节中渗透这一点,也需要教师有很高的数学修养才可以办到. 教学的中心环节是上课. 要让学生理解数学问题的本质,就需要在课堂上进行渗透,让学生理解. 很多教师都说,一节高明的数学课的高明之处就是在于它的“数学味”. 我认为,所谓“数学味”具体就是数学课应该高在它的立意,抓住数学的本质,渗透数学的思想方法. 久而久之,学生们也习惯用数学的思想来看待我们的生活中的问题,建立科学的思想方法,真正看清问题的本质. 无形中,我们培养了学生分析问题、解决问题的能力. 毫无疑问,这样的数学课就是成功的. 教学中就应该尝试围绕这个思想来设计一节课. 其实数学本质就是数学课的灵魂. 新课标给教师出了难题,也给了教师莫大的发挥空间. 不少人说新教材只有骨头,没有肉,嚼起来没有味道. 其实我想说,教材上的内容是肉,真正的骨头要我们自己去寻找. 在教学设计中,我们应当赋予每一节课以灵魂,让学生搭建它的骨架,再吸取教材上的精华,这样的教学就是完美的.我们鼓励学生多思考,我们自己也应该多思考,在课程改革中给自己定位,并不断修正这个定位. 教师和学生都是课堂的主人,教师是主导方向的人,我们应该决定这个课堂的方向,决定我们教学生些什么. “授之以鱼不如授之以渔.” 如果说前者“鱼”代表的是数学知识点,那么,后者“渔”又表示的什么呢?我想,它不仅仅是数学方法,而正是数学问题的本质.